Αρχιμήδεια ιδιότητα και μετασχηματισμοί

Εισαγωγή

Μετασχηματισμοί

Μπορούμε να δούμε κάθε συνάρτηση $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ως έναν μετασχηματισμό της ευθείας των πραγματικών αριθμών.

Τι σημαίνει αυτό;
Σημαίνει ότι, κάθε σημείο της ευθείας, στέλνεται στην εικόνα του.

Έτσι, η συνάρτηση $f(x) = x^3$ στέλνει το σημείο 2 εκεί που προηγουμένως βρισκόταν το 8, ενώ το 1 το αφήνει στη θέση του.

Εδώ, δεν θεωρούμε δύο διαφορετικά αντίτυπα του $\mathbb{R}$, ένα για το πεδίο ορισμού και ένα για το πεδίο τιμών. Απεναντίας, θεωρούμε ότι το πεδίο ορισμού και το πεδίο τιμών είναι το ίδιο αντίτυπο του $\mathbb{R}$!

Οπτικοποίηση

Μετασχηματισμοί

Αν εφαρμόσουμε τη συνάρτηση σε όλα τα σημεία, βλέπουμε ότι η συνάρτηση παραμορφώνει την ευθεία των αριθμών.

Στο παρακάτω animation φαίνεται αυτή η παραμόρφωση για την $f(x) = x^3$.

Άσκηση Πώς παραμορφώνει την ευθεία η $f(x) = x^2$;
Ποιο καινούργιο φαινόμενο παρατηρείτε, που οφείλεται στο ότι η συνάρτηση δεν είναι 1-1;

Αρχιμήδεια Ιδιότητα

Η αρχιμήδεια ιδιότητα μας λέει ότι οι αριθμοί $1/n$ πλησιάζουν οσοδήποτε κοντά στο 0 θέλουμε.

Με άλλα λόγια, το infimum τους είναι το 0.

Ένας άλλος τρόπος να το εκφράσουμε αυστηρά αυτό, είναι χρησιμοποιώντας ένα $\epsilon>0$.

Η ιδέα είναι ότι, όποιο θετικό $\epsilon$ και να επιλέξουμε, θα υπάρχει κάποιο $n_0$ για το οποίο το $1/n_0$ είναι μικρότερο του $\epsilon$:

$$ \forall \epsilon>0: \exists n \in \mathbb{N}: 1/n < \epsilon $$

Ιδέα Απόδειξης

Μετασχηματισμός Αντιστροφής

Πώς μπορούμε να αποδείξουμε αυτήν την ιδιότητα για τους αριθμούς $\{1/n: n \in \mathbb{N}\}$;

Αφού εμπλέκονται οι ακέραιοι (και για το $\mathbb{N}$ γνωρίζουμε πολλές ιδιότητες), θα προσπαθήσουμε να μετατρέψουμε το $\{1/n: n \in \mathbb{N}\}$ στο $\mathbb{N}$. Αυτό μπορεί να γίνει εφαρμόζοντας τον μετασχηματισμό $f(x) = 1/x$ στο $(0, +\infty)$:

Παρατηρήστε πώς το διάστημα $(0, \epsilon)$ μετατρέπεται στο $(1/\epsilon, +\infty)$.

Ισοδυναμία & Άνω Φράγμα

Μέσω του μετασχηματισμού, βλέπουμε ότι το να βρίσκονται στοιχεία του $\{1/n: n \in \mathbb{N}\}$ μέσα στο $(0, \epsilon)$ είναι ισοδύναμο με το να υπάρχουν ακέραιοι μεγαλύτεροι του $1/\epsilon$!

Γιατί θα ισχύει αυτό;
Από τη θεωρία, γνωρίζουμε ότι το $\mathbb{N}$ δεν είναι άνω φραγμένο.

Αφού το $1/\epsilon$ δεν μπορεί λοιπόν να είναι άνω φράγμα, θα υπάρχει κάποιος φυσικός αριθμός μεγαλύτερος του $1/\epsilon$.

Ολοκλήρωση της Απόδειξης

Αντίστροφη Πορεία & Απόδειξη

Τέλος, αναιρώντας τον μετασχηματισμό, βλέπουμε ότι αυτός ο ακέραιος (που είναι μεγαλύτερος του $1/\epsilon$) μετατρέπεται σε ένα στοιχείο του $\{1/n: n \in \mathbb{N}\}$ που είναι μικρότερο από $\epsilon$.

Άσκηση Γράψε μια απόδειξη που αυστηροποιεί αυτούς τους διαισθητικούς συλλογισμούς.
Ακολούθησε βήμα βήμα τη σκέψη που παρουσιάστηκε στις δύο τελευταίες διαφάνειες.