1 / 13
Άσκηση

Άσκηση

Να βρεις το supremum και το infimum του συνόλου: $$ \{e^{1/n}: n = 1, 2, 3, ...\} $$ αποδεικνύοντας τον ισχυρισμό σου με τον χαρακτηρισμό.
Οπτικοποίηση

Άσκηση

Για να βρούμε ποιο είναι το infimum και ποιο το supremum, πρέπει να έχουμε μια εικόνα του συνόλου.

✍️ Άσκηση:
Πάρε ένα χαρτί και ζωγράφισε τους αριθμούς $e^{1/n}$ (για τα διάφορα $n \in \mathbb{N}$) πάνω στην ευθεία των πραγματικών αριθμών.
Εξερεύνηση

Διαισθητική εύρεση

Δες τα σημεία πάνω στην ευθεία των αριθμών. Στη συνέχεια, κάνε κλικ εκεί που νομίζεις ότι είναι το supremum και το infimum.

n = 0 | -
Φόρτωση Python...
Θεωρία

Απόδειξη με χαρακτηρισμό supremum

Άσκηση:
Ζωγράφισε το σχήμα που αντιστοιχεί στον χαρακτηρισμό για το supremum (πρέπει να επιλέξεις μία τυχαία τιμή του $\epsilon$ για να κάνεις το σχήμα).
Τι θέλουμε να αποδείξουμε;
Ολοκλήρωση

Ολοκλήρωση απόδειξης

Εξήγησε για ποιον λόγο, όποιο $\epsilon$ και να διάλεγες, θα υπήρχε πάντοτε ένα στοιχείο του συνόλου μέσα στο διάστημα.

📝 Γράψε μια πολύ σύντομη απόδειξη, χρησιμοποιώντας αυτό που είδες στο σχήμα.
Infimum

Η περίπτωση του infimum

Αφού το infimum δεν είναι στοιχείο του συνόλου, η απόδειξη για το infimum θα είναι πιο δύσκολη.

Ας ζωγραφίσουμε το σχήμα για ένα συγκεκριμένο $\epsilon$.

Στη συνέχεια, πρέπει να επιλέξουμε κάποιο στοιχείο που βρίσκεται μέσα στο διάστημα (όπως μας λέει ο χαρακτηρισμός).

Υπάρχει περίπτωση το στοιχείο αυτό να βρίσκεται μέσα στο διάστημα για όλα τα δυνατά $\epsilon$;

Infimum

Η περίπτωση του infimum

Η απάντηση είναι όχι, το στοιχείο που επιλέγουμε θα πρέπει να εξαρτάται από το $\epsilon$!

Ας πούμε ότι θέλουμε να βρούμε ποιο είναι το πρώτο στοιχείο μετά το $\epsilon$.

Έτσι, θα έχουμε δείξει ότι υπάρχει κάποιο στοιχείο μέσα στο διάστημα: θα έχουμε έναν γενικό τύπο που να μας δίνει για κάθε $\epsilon$ ένα τέτοιο σημείο.

Και άρα θα ξέρουμε ότι ισχύει ο χαρακτηρισμός.

Συλλογισμός

Ολοκλήρωση Συλλογισμού

Ο μόνος τρόπος να προσδιορίσουμε το στοιχείο αυτό, είναι να βρούμε σε ποιο $n$ αντιστοιχεί. i Το σύνολο έχει υπερβολικά άτακτη δομή, για να βρούμε απευθείας το στοιχείο.

Συγκεκριμένα, το στοιχείο είναι το πρώτο $n$ για το οποίο ικανοποιείται η ανισότητα $e^{1/n} < 1 + \epsilon$.

Πράξεις

Ολοκλήρωση Συλλογισμού

Αυτήν την τελευταία ανισότητα μπορούμε να τη λύσουμε. Είναι ισοδύναμη με την: $$ n > \frac{1}{\ln(1+\epsilon)} $$

Στη συνέχεια, επιλέγουμε τον αμέσως μεγαλύτερο ακέραιο από το $1/\ln(1+\epsilon)$.

Το στοιχείο του συνόλου που αντιστοιχεί σε αυτόν τον ακέραιο βρίσκεται μέσα στο διάστημα $[1, 1 + \epsilon)$.
Αυστηροποίηση

Αυστηροποίηση

Είναι σημαντικό κατά την αυστηροποίηση να εξηγήσουμε γιατί υπάρχει αυτός ο "αμέσως μεγαλύτερος ακέραιος".

  • Πρώτα απ' όλα, το $\mathbb{N}$ δεν είναι άνω φραγμένο, άρα υπάρχει κάποιος ακέραιος που είναι μεγαλύτερος από το $1/\ln(1+\epsilon)$.
  • Επιπλέον, το σύνολο των ακεραίων που είναι μεγαλύτεροι από το $1/\ln(1+\epsilon)$ έχει ελάχιστο στοιχείο (από την αρχή ελαχίστου!).

Έτσι, βρίσκουμε τον ακέραιο που θέλαμε. Τον ονομάζουμε $n_0$. Τότε, σύμφωνα με την επίλυση της ανισότητας:

$$ n_0 > \frac{1}{\ln(1+\epsilon)} \implies e^{1/n_0} < 1 + \epsilon $$
i Ουσιαστικά, με την επίλυση της ανισότητας εφαρμόζουμε και στα δύο μέλη την αντίστροφη της συνάρτησης $f(x) = e^{1/x}$.

Η αντίστροφη μετατρέπει τα σημεία του συνόλου στους φυσικούς αριθμούς. Έτσι, το σύνολό μας με την παράξενη δομή, μετατράπηκε στο $\mathbb{N}$, το οποίο έχει ήδη γνωστές ιδιότητες (π.χ. αρχή ελαχίστου).
Τέλος, το 1 είναι κάτω φράγμα του συνόλου. Έτσι οδηγούμαστε στην αυστηρή απόδειξη.
Εναλλακτική

Απόδειξη με τον Ορισμό

Ας προσπαθήσουμε τώρα να αποδείξουμε ότι το $e$ είναι το supremum με τον ορισμό. Πρέπει να δείξουμε δύο πράγματα:

✔ Ότι το $e$ είναι άνω φράγμα.
✔ Ότι κάθε άλλο άνω φράγμα θα είναι μεγαλύτερο από το $e$.

Το πρώτο είναι αρκετά απλό.

Hint: Μπορείς να χρησιμοποιήσεις και γνώσεις από την τρίτη λυκείου!
Κριτική Σκέψη

Απόδειξη με τον Ορισμό

Τώρα, προσπάθησε να εξηγήσεις γιατί κάθε άνω φράγμα είναι μεγαλύτερο ή ίσο από το $e$ (απ' όπου προκύπτει ότι το $e$ είναι το ελάχιστο άνω φράγμα).

Παρατήρησε το επιχείρημα που αναγκαστικά θα χρησιμοποιήσεις. Θυμάσαι να έχεις ξαναδεί κάποιο παρόμοιο επιχείρημα;
Συμπέρασμα

Χρήση του $\epsilon$-χαρακτηρισμού

Γενικά, όταν θέλουμε να αποδείξουμε για ένα σύνολο ποιο είναι το infimum και το supremum του, συνήθως συμφέρει να χρησιμοποιούμε τον χαρακτηρισμό.

Αν προσπαθήσουμε να χρησιμοποιήσουμε τον Ορισμό, η απόδειξή μας θα εμπεριέχει μέσα της την απόδειξη του χαρακτηρισμού!

Θα κάνουμε λοιπόν λίγη παραπάνω δουλειά απ' όση χρειάζεται.

1 / 13